问题描述

Fibonacci数（Fibonacci Number）的定义是：F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，并且F(0) = 0，F(1) = 1。对于任意指定的整数n（n ≥ 0），计算F(n)的精确值

递归法

一个看起来很直观、用起来很恐怖的算法就是递归法。根据Fibonacci的递推公式，对于输入的n，直接递归地调用相同的函数分别求出F(n - 1)和F(n - 2)，二者相加就是结果。递归的终止点就是递推方程的初值，即n取0或1的时候。

程序写出来那也是相当的简洁直观：

private static long recursiveFibonacci(int n) {
    if (n == 0)
        return 0;
    if (n == 1)
        return 1;
    
    return recursiveFibonacci(n - 1) + recursiveFibonacci(n - 2);
}

非递归算法 - 递推法

虽然只是一字之差，但递推法的复杂度要小的多。这个方法就是按照递推方程，从n = 0和n = 1开始，逐个求出所有小于n的Fibonacci数，最后就可以算出F(n)。由于每次计算值需要用到前两个Fibonacci数，更小的数就可以丢弃了，可以将空间复杂度降到最低。算法如下：

private static long fibonacci1(int n) {
    int result[] = {0, 1};
    if (n < 2)
        return result[n];

    long fibFrontPart = 1;
    long fibTailPart = 0;
    long fibN = 0;

    int i = 2;
    while (i <= n) {
        fibN = fibFrontPart + fibTailPart;

        fibTailPart = fibFrontPart;
        fibFrontPart = fibN;
        i++;
    }
    return fibN;
}

可以很明显的看到计算第n项的时间复杂度为 T(n) = O(n)

非递归算法 - 公式算法

对于斐波那契数列这个常见的递推数列，其第nn项的值的通项公式如下： $$ Fn=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n−(\frac{1−\sqrt{5}}{2})^n] $$ 该公式可以通过构造等比数列或者特征方程法等方法求出，也可以利用数学归纳法进行证明，在这里不多介绍。如果将公式转化成Python代码则有以下程序：

def Fibonacci_formula(n):
    root_five = 5**0.5
    result = (((1 + root_five) / 2)**n - ((1 - root_five) / 2)**n) / root_five
    return int(result)

该方法虽然看起来高效，但是由于涉及大量浮点运算，在nn增大时浮点误差不断增大会导致返回结果不正确甚至数据溢出。由于这种不可靠性，一般不采用这种方法进行计算。

矩阵算法

Reference

五种方法计算斐波那契数列的第n项- http://blog.zhengyi.one/fibonacci-in-logn.html

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【Algorithm】计算斐波纳契数（Fibonacci Number）