题目
10亿int整型数，以及一台可用内存为1GB的机器，时间复杂度要求O(n)，统计只出现一次的数？
分析
首先分析多大的内存能够表示10亿的数呢？一个int型占4字节，10亿就是40亿字节（4 * 1000,000,000 Byte = 4GB），也就是如果完全读入内存需要占用4GB，而题目只给1GB内存，显然不可能将所有数据读入内存。
我们先不考虑时间复杂度，仅考虑解决问题。那么接下来的思路一般有两种。
- 位图法：用一个bit位来标识一个int整数。
- 分治法：分批处理这10亿的数。
一种是位图法，如果各位老司机有经验的话很快会想到int整型数是4字节（Byte），也就是32位（bit），如果能用一个bit位来标识一个int整数那么存储空间将大大减少。另一种是分治法，因为内存有限，因此我分批读取处理。下面大致分析一下两种思路。
位图法（Bitmap）
位图法是基于int型数的表示范围这个概念的，用两个bit位来标识一个int整数，若该位为01，则说明该数出现过一次；若为00，则说明该数没有出现，若为 11，则说明该数出现超过一次。一个int整型数占4字节（Byte），也就是32位（bit）。那么把所有int整型数字表示出来需要 $2 * 2^{32}$ bit的空间，换算成字节为单位也就是$2^{33}/8$ = $2^{30}$ Byte，大约等于1GB。
// 插播一个常识
2^10 Byte = 1024 Byte = 1KB
2^30 Byte = (2^10)^3 Byte = 1024 * 1024 * 1024 Byte = 1GB
这下就好办了，只需要用1GB的内存就能存储所有的int的范围数。
具体方案
那么接下来我们只需要申请一个int数组长度为 int tmp[N/32+1]即可存储完这些数据，其中N代表要进行查找的总数（这里也就是$2^{32}$），tmp中的每个元素在内存在占32位，所以可得到BitMap表：
- tmp[0]:可表示0~15
- tmp[1]:可表示16~31
- tmp[2]可表示32~47
- ~~
假设这10亿int数据为：6,3,8,16,18,……，那么具体的BitMap表示为：
- 如何判断int数字放在哪一个tmp数组中：将数字直接除以16取整数部分（x/16），例如：整数15除以16取整等于0，那么15就在tmp[0]上；而整数 16 除以16取整等于1，那么 16 就在 tmp[1]上。
- 如何确定数字放在32个位中的哪个位（索引从 0 开始）：将数字mod16取模再乘以 2（x % 16 * 2）。比如，我们知道了整数 0 在tmp[0]后，如果确定其在哪一位呢？计算0 % 16 * 2 = 0，因此在tmp[0]的第 0 位。又如整数8，8 % 16 * 2 = 16，因此在tmp[0]的第 16 位（从右边数起）。
- 然后，我们怎么统计只出现一次的数呢？每一个数出现的情况我们可以分为三种：0次、1次、大于1次。也就是说我们需要用2个bit位才能表示每个数的出现情况。此时则三种情况分别对应的bit位表示是：00、01、11。
我们顺序扫描这10亿的数，在对应的双bit位上标记该数出现的次数。最后取出所有双bit位为01的int型数就可以了。
Bitmap拓展
位图（Bitmap）算法思想比较简单，但关键是如何确定十进制的数映射到二进制bit位的map图。
优点：
- 运算效率高，不许进行比较和移位；
- 占用内存少，比如N=10000000；只需占用内存为N/8=1250000Byte=1.25M
**缺点：**所有的数据不能重复。即不可对重复的数据进行排序和查找。
适用场景
建立了Bit-Map之后，就可以方便的使用了。一般来说Bit-Map可作为数据的查找、去重、排序等操作。比如以下几个例子：
1 在3亿个整数中找出重复的整数个数，限制内存不足以容纳3亿个整数
对于这种场景可以采用2-BitMap来解决，即为每个整数分配2bit，用不同的0、1组合来标识特殊意思，如00表示此整数没有出现过，01表示出现一次，11表示出现过多次，就可以找出重复的整数了，其需要的内存空间是正常BitMap的2倍，为：3亿*2/8/1024/1024=71.5MB。
**具体的过程如下：**扫描着3亿个整数，组BitMap，先查看BitMap中的对应位置，如果00则变成01，是01则变成11，是11则保持不变，当将3亿个整数扫描完之后也就是说整个BitMap已经组装完毕。最后查看BitMap将对应位为11的整数输出即可。
2 对没有重复元素的整数进行排序
对于非重复的整数排序BitMap有着天然的优势，它只需要将给出的无重复整数扫描完毕，组装成为BitMap之后，那么直接遍历一遍Bit区域就可以达到排序效果了。
举个例子：对整数4、3、1、7、6进行排序：
直接按Bit位输出就可以得到排序结果了。
3 已知某个文件内包含一些电话号码，每个号码为8位数字，统计不同号码的个数
8位最多99 999 999，大概需要99m个bit，大概10几m字节的内存即可。可以理解为从0-99 999 999的数字，每个数字对应一个Bit位，所以只需要99M个Bit==1.2MBytes，这样，就用了小小的1.2M左右的内存表示了所有的8位数的电话。
4 2.5亿个整数中找出不重复的整数的个数，内存空间不足以容纳这2.5亿个整数
将bit-map扩展一下，用2bit表示一个数即可：0表示未出现；1表示出现一次；2表示出现2次及以上，即重复，在遍历这些数的时候，如果对应位置的值是0，则将其置为1；如果是1，将其置为2；如果是2，则保持不变。或者我们不用2bit来进行表示，我们用两个bit-map即可模拟实现这个2bit-map，都是一样的道理。
最后放一个使用Byte[]数组存储、读取bit位的示例代码：
class BitmapTest {
private static final int CAPACITY = 1000000000;//数据容量
// 定义一个byte数组缓存所有的数据
private byte[] dataBytes = new byte[1 << 29];
public static void main(String[] args) {
BitmapTest ms = new BitmapTest();
byte[] bytes = null;
Random random = new Random();
for (int i = 0; i < CAPACITY; i++) {
int num = random.nextInt();
System.out.println("读取了第 " + (i + 1) + "\t个数: " + num);
bytes = ms.splitBigData(num);
}
System.out.println("");
ms.output(bytes);
}
/**
* 读取数据，并将对应数数据的 到对应的bit中，并返回byte数组
* @param num 读取的数据
* @return byte数组 dataBytes
*/
private byte[] splitBigData(int num) {
long bitIndex = num + (1l << 31); //获取num数据对应bit数组（虚拟）的索引
int index = (int) (bitIndex / 8); //bit数组（虚拟）在byte数组中的索引
int innerIndex = (int) (bitIndex % 8); //bitIndex 在byte[]数组索引index 中的具体位置
System.out.println("byte[" + index + "] 中的索引：" + innerIndex);
dataBytes[index] = (byte) (dataBytes[index] | (1 << innerIndex));
return dataBytes;
}
/**
* 输出数组中的数据
* @param bytes byte数组
*/
private void output(byte[] bytes) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < bytes.length; i++) {
for (int j = 0; j < 8; j++) {
if (!(((bytes[i]) & (1 << j)) == 0)) {
count++;
int number = (int) ((((long) i * 8 + j) - (1l << 31)));
System.out.println("取出的第 " + count + "\t个数: " + number);
}
}
}
}
}
分治法
分治法目前看到的解决方案有哈希分桶（Hash Buckets）和归并排序两种方案。
哈希分桶的思想是先遍历一遍，按照hash分N桶（比如1000桶），映射到不同的文件中。这样平均每个文件就10MB，然后分别处理这1000个文件，找出没有重复的即可。一个相同的数字，绝对不会夸文件，有hash做保证。
Reference
- 【算法】10亿int型数，统计只出现一次的数 - https://itimetraveler.github.io/2017/07/13/%E3%80%90%E7%AE%97%E6%B3%95%E3%80%9110%E4%BA%BFint%E5%9E%8B%E6%95%B0%EF%BC%8C%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%8F%AA%E5%87%BA%E7%8E%B0%E4%B8%80%E6%AC%A1%E7%9A%84%E6%95%B0/