树（Tree）

上图(A) 是使用树结构存储的集合 {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M} 的示意图。对于数据 A 来说，和数据 B、C、D 有关系；对于数据 B 来说，和 E、F 有关系。这就是“一对多”的关系。

将具有“一对多”关系的集合中的数据元素按照上图（A）的形式进行存储，整个存储形状在逻辑结构上看，类似于实际生活中倒着的树（上图（B）倒过来），所以称这种存储结构为“树型”存储结构。

树（Tree）是由多个节点（Node）的集合组成，每个节点又有多个与其关联的子节点（Child Node）。子节点就是直接处于节点之下的节点，而父节点（Parent Node）则位于节点直接关联的上方。树的根（Root）指的是一个没有父节点的单独的节点。

所有的树都呈现了一些共有的性质：

只有一个根节点；
除了根节点，所有节点都有且只有一个父节点；
无环。将任意一个节点作为起始节点，都不存在任何回到该起始节点的路径。（正是前两个性质保证了无环的成立。

树中使用的术语

节点（Node）：使用树结构存储的每一个数据元素都被称为“节点”。例如，上图（A）中，数据元素 A 就是一个节点；
树根节点（根节点，Root Node）：每一个非空树都有且只有一个被称为根的节点。上图（A）中，节点A就是整棵树的根节点。树根的判断依据为：如果一个节点没有父节点，那么这个节点就是整棵树的根节点。
子节点（Child Nodes）：节点所拥有子树的根节点称为该节点的子节点。
父节点（双亲节点，Parent Node）：如果节点拥有子节点，则该节点为子节点的父节点。
兄弟节点（Sibling Node）：与节点拥有相同父节点的节点。
子孙节点（Descendant Node）：节点向下路径上可达的节点。
叶子节点（Leaf Node）：如果某节点没有任何子节点，那么此节点称为叶子节点（叶节点）。例如上图（A）中，节点 K、L、F、G、M、I、J 都是这棵树的叶子节点。
度（Degree）：节点拥有子树的数量。
边（Edge）：两个节点中间的链接。
路径（Path）：从节点到子孙节点过程中的边和节点所组成的序列。
层级（Level）：根为 Level 0 层，根的子节点为 Level 1 层，以此类推。
高度（Height）/深度（Depth）：树中层的数量。比如只有 Level 0,Level 1,Level 2 则高度为 3。

对于上图（A）中的节点 A、B、C、D 来说，A 是 B、C、D 节点的父节点（也称为“双亲节点”），而 B、C、D 都是 A 节点的子节点（也称“孩子节点”）。对于 B、C、D 来说，它们都有相同的父节点，所以它们互为兄弟节点。

子树和空树

子树：如上图（A）中，整棵树的根节点为节点 A，而如果单看节点 B、E、F、K、L 组成的部分来说，也是棵树，而且节点 B 为这棵树的根节点。所以称 B、E、F、K、L 这几个节点组成的树为整棵树的子树；同样，节点 E、K、L 构成的也是一棵子树，根节点为 E。

注意：单个节点也是一棵树，只不过根节点就是它本身。上图（A）中，节点 K、L、F 等都是树，且都是整棵树的子树。

知道了子树的概念后，树也可以这样定义：树是由根节点和若干棵子树构成的。

空树：如果集合本身为空，那么构成的树就被称为空树。空树中没有节点。

补充：在树结构中，对于具有同一个根节点的各个子树，相互之间不能有交集。例如，上图（A）中，除了根节点 A，其余元素又各自构成了三个子树，根节点分别为 B、C、D，这三个子树相互之间没有相同的节点。如果有，就破坏了树的结构，不能算做是一棵树。

节点的度（Degrees）和层次（Levels）

节点的度（Degrees）

对于一个节点，拥有的子树数（节点有多少分支）称为节点的度（Degree）。例如，上图（A）中，根节点 A 下分出了 3 个子树，所以，节点 A 的度为 3。

一棵树的度是树内各节点的度的最大值。上图（A）表示的树中，各个节点的度的最大值为 3，所以，整棵树的度的值是 3。

节点的层次（Levels）

节点的层次：从一棵树的树根开始，树根所在层为第一层，根的孩子节点所在的层为第二层，依次类推。对于上图（A）来说，A 节点在第一层，B、C、D 为第二层，E、F、G、H、I、J 在第三层，K、L、M 在第四层。

一棵树的深度（高度）是树中节点所在的最大的层次。上图（A）树的深度为 4。

如果两个节点的父节点虽不相同，但是它们的父节点处在同一层次上，那么这两个节点互为堂兄弟。例如，上图（A）中，节点 G 和 E、F、H、I、J 的父节点都在第二层，所以之间为堂兄弟的关系。

有序树和无序树

如果树中节点的子树从左到右看，谁在左边，谁在右边，是有规定的，这棵树称为有序树；反之称为无序树。

在有序树中，一个节点最左边的子树称为"第一个孩子"，最右边的称为"最后一个孩子"。

拿上图（A）来说，如果其本身是一棵有序树，则以节点 B 为根节点的子树为整棵树的第一个孩子，以节点 D 为根节点的子树为整棵树的最后一个孩子。

森林

由 m（m >= 0）个互不相交的树组成的集合被称为森林。上图（A）中，分别以 B、C、D 为根节点的三棵子树就可以称为森林。

前面讲到，树可以理解为是由根节点和若干子树构成的，而这若干子树本身是一个森林，所以，树还可以理解为是由根节点和森林组成的。用一个式子表示为：

Tree =（root,F）

其中，root 表示树的根节点，F 表示由 m（m >= 0）棵树组成的森林。

树的表示方法

除了上图（A）表示树的方法外，还有其他表示方法：

上图（A）是以嵌套的集合的形式表示的（集合之间绝不能相交，即图中任意两个圈不能相交）。

上图（B）使用的是凹入表示法（了解即可），表示方式是：最长条为根节点，相同长度的表示在同一层次。例如 B、C、D 长度相同，都为 A 的子节点，E 和 F 长度相同，为 B 的子节点，K 和 L 长度相同，为 E 的子节点，依此类推。

最常用的表示方法是使用广义表的方式。上图（A）用广义表表示为：

(A, (B(E(K, L), F), C(G), D(H(M), I, J)))

Reference

数据结构概述 - http://data.biancheng.net/intro/

【Data Structure】树（Trees）