跳跃表（跳表，Skiplist）
引言
Redis因为其完全基于内存、性能出色，加上具备丰富的数据类型，在电商环境中深受后端开发的喜爱。其中有序集合zset就是基本数据类型之一，并且每个member都带有score（可用于排序），因此很适合在打赏日榜、近一周收益这类场景中运用。
跳表的定义
跳表(SkipList)：增加了向前指针的链表叫做指针。跳表全称叫做跳跃表，简称跳表。跳表是一个随机化的数据结构，实质是一种可以进行二分查找的有序链表。跳表在原有的有序链表上增加了多级索引，通过索引来实现快速查询。跳表不仅能提高搜索性能，同时也可以提高插入和删除操作的性能。
跳表是一个随机化的数据结构，可以被看做二叉树的一个变种，它在性能上和红黑树、AVL树不相上下，但是跳表的原理非常简单，目前在Redis和LevelDB中都有用到。
跳表的详解
对于一个单链表来说，即使链表中的数据是有序的，如果我们想要查找某个数据，也必须从头到尾的遍历链表，很显然这种查找效率是十分低效的，时间复杂度为O(n)。
那么我们如何提高查找效率呢？我们可以对链表建立一级“索引”，每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽取出来的那一级叫做索引或者索引层，如下图所示，down表示down指针。
假设我们现在要查找值为16的这个结点。我们可以先在索引层遍历，当遍历索引层中值为13的时候，通过值为13的结点的指针域发现下一个结点值为17，因为链表本身有序，所以值为16的结点肯定在13和17这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的down指针，下降到原始链表这一层，继续往后遍历查找。这个时候我们只需要遍历2个结点（值为13和16的结点），就可以找到值等于16的这个结点了。如果使用原来的链表方式进行查找值为16的结点，则需要遍历10个结点才能找到，而现在只需要遍历7个结点即可，从而提高了查找效率。
那么我们可以由此得到启发，和上面建立第一级索引的方式相似，在第一级索引的基础上，每两个一级索引结点就抽到一个结点到第二级索引中。再来查找值为16的结点，只需要遍历6个结点即可，从而进一步提高了查找效率。
上面举得例子中的数据量不大，所以即便加了两级索引，查找的效率提升的也不是很明显，下面通过一个64结点的链表来更加直观的感受下索引提升查找效率，如图所示，建立了五级索引。
从图中我们可以看出来，原来没有索引的时候，查找62需要遍历62个结点，现在只需要遍历11个结点即可，速度提高了很多。那么，如果当链表的长度为10000、10000000时，通过构件索引之后，查找的效率就会提升的非常明显。
复杂度
跳表的时间复杂度
单链表的查找时间复杂度为：O(n)，下面分析下跳表这种数据结构的查找时间复杂度：
我们首先考虑这样一个问题，如果链表里有n个结点，那么会有多少级索引呢？按照上面讲的，每两个结点都会抽出一个结点作为上一级索引的结点。那么第一级索引的个数大约就是n/2，第二级的索引大约就是n/4，第三级的索引就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那么第k级的索引结点个数为：
假设索引有h级，最高级的索引有2个结点，通过上面的公式，我们可以得到 %3D 2.gif)，从而可得：h =
其实根据前面的分析，我们不难得出m=3，即每一级索引都最多只需要遍历3个结点，分析如下：
如上图所示，假如我们要查找的数据是x，在第k级索引中，我们遍历到y结点之后，发现x大于y，小于y后面的结点z。所以我们通过y的down指针，从第k级索引下降到第k-1级索引。在第k-1级索引中，y和z之间只有3个结点(包含y和z)。所以，我们在k-1级索引中最多需要遍历3个结点，以此类推，每一级索引都最多只需要遍历3个结点。
因此，m=3，所以跳表查找任意数据的时间复杂度为O(logn)，这个查找的时间复杂度和二分查找是一样的，但是我们却是基于单链表这种数据结构实现的。不过，天下没有免费的午餐，这种查找效率的提升是建立在很多级索引之上的，即空间换时间的思想。其具体空间复杂度见下文详解。【面试题：如何让链表的元素查询接近线性时间】
跳表的空间复杂度
比起单纯的单链表，跳表就需要额外的存储空间去存储多级索引。假设原始链表的大小为n，那么第一级索引大约有n/2个结点，第二级索引大约有4/n个结点，依次类推，每上升一级索引结点的个数就减少一半，直到剩下最后2个结点，如下图所示，其实就是一个等比数列。
这几级索引结点总和为：n/2 + n/4 + n/8 + … + 8 + 4 + 2 = n - 2。所以跳表的空间复杂度为O(n)。也就是说如果将包含n个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近n个结点的存储空间。
其实从上面的分析，我们利用空间换时间的思想，已经把时间压缩到了极致，因为每一级每两个索引结点就有一个会被抽到上一级的索引结点中，所以此时跳表所需要的额外内存空间最多，即空间复杂度最高。其实我们可以通过改变抽取结点的间距来降低跳表的空间复杂度，在其时间复杂度和空间复杂度方面取一个综合性能，当然也要看具体情况，如果内存空间足够，那就可以选择最小的结点间距，即每两个索引结点抽取一个结点到上一级索引中。如果想降低跳表的空间复杂度，则可以选择每三个或者每五个结点，抽取一个结点到上级索引中。
如上图所示，每三个结点抽取一个结点到上一级索引中，则第一级需要大约n/3个结点，第二级索引大约需要n/9个结点。每往上一级，索引的结点个数就除以3，为了方便计算，我们假设最高一级的索引结点个数为1，则可以得到一个等比数列，去下图所示：
通过等比数列的求和公式，总的索引结点大约是：n/3 + n /9 + n/27 + … + 9 + 3 + 1 = n/2。尽管空间复杂度还是O(n)，但是比之前的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，可以减少了一半的索引结点存储空间。
实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构的时候，我们习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。
跳表的插入
跳表插入的时间复杂度为：O(logn)，支持高效的动态插入。
在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是O(1)。但是为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找的操作就会比较耗时。
对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是对于跳表来说，查找的时间复杂度为O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置的时间复杂度也是O(logn)，如下图所示：
跳表的删除
跳表的删除操作时间复杂度为：O(logn)，支持动态的删除。
在跳表中删除某个结点时，如果这个结点在索引中也出现了，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到删除结点的前驱结点，然后再通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点（双向链表除外）。因此跳表的删除操作时间复杂度即为O(logn)。
跳表索引动态更新
当我们不断地往跳表中插入数据时，我们如果不更新索引，就有可能出现某2个索引节点之间的数据非常多的情况，在极端情况下，跳表还会退化成单链表，如下图所示：
作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中的结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入和删除操作性能的下降。
如果你了解红黑树、AVL树这样的平衡二叉树，你就会知道它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡，而跳表是通过随机函数来维护“平衡性”。
当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以通过一个随机函数，来决定这个结点插入到哪几级索引层中，比如随机函数生成了值K，那我们就将这个结点添加到第一级到第K级这个K级索引中。如下图中要插入数据为6，K=2的例子：
随机函数的选择是非常有讲究的，从概率上讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能的过度退化。至于随机函数的选择，见下面的代码实现过程，而且实现过程并不是重点，掌握思想即可。
跳表的性质
- 由很多层结构组成，level是通过一定的概率随机产生的；
- 每一层都是一个有序的链表，默认是升序 ；
- 最底层(Level 1)的链表包含所有元素；
- 如果一个元素出现在Level i 的链表中，则它在Level i 之下的链表也都会出现；
- 每个节点包含两个指针，一个指向同一链表中的下一个元素，一个指向下面一层的元素。
为什么采用跳表，而不使用哈希表或平衡树实现呢
- skiplist和各种平衡树（如AVL、红黑树等）的元素是有序排列的，而哈希表不是有序的。因此，在哈希表上只能做单个key的查找，不适宜做范围查找。所谓范围查找，指的是查找那些大小在指定的两个值之间的所有节点。
- 在做范围查找的时候，平衡树比skiplist操作要复杂。在平衡树上，我们找到指定范围的小值之后，还需要以中序遍历的顺序继续寻找其它不超过大值的节点。如果不对平衡树进行一定的改造，这里的中序遍历并不容易实现。而在skiplist上进行范围查找就非常简单，只需要在找到小值之后，对第1层链表进行若干步的遍历就可以实现。
- 平衡树的插入和删除操作可能引发子树的调整，逻辑复杂，而skiplist的插入和删除只需要修改相邻节点的指针，操作简单又快速。
- 从内存占用上来说，skiplist比平衡树更灵活一些。一般来说，平衡树每个节点包含2个指针（分别指向左右子树），而skiplist每个节点包含的指针数目平均为1/(1-p)，具体取决于参数p的大小。如果像Redis里的实现一样，取p=1/4，那么平均每个节点包含1.33个指针，比平衡树更有优势。
跳表而 VS 平衡树
这里插一个常见的面试题：为什么 Zset 的实现用跳表而不用平衡树（如 AVL树、红黑树等）？
对于这个问题 (opens new window)，Redis的作者 @antirez 是怎么说的：
There are a few reasons:
- They are not very memory intensive. It’s up to you basically. Changing parameters about the probability of a node to have a given number of levels will make then less memory intensive than btrees.
- A sorted set is often target of many ZRANGE or ZREVRANGE operations, that is, traversing the skip list as a linked list. With this operation the cache locality of skip lists is at least as good as with other kind of balanced trees.
- They are simpler to implement, debug, and so forth. For instance thanks to the skip list simplicity I received a patch (already in Redis master) with augmented skip lists implementing ZRANK in O(log(N)). It required little changes to the code.
简单翻译一下，主要是从内存占用、对范围查找的支持、实现难易程度这三方面总结的原因：
- 它们不是非常内存密集型的。基本上由你决定。改变关于节点具有给定级别数的概率的参数将使其比 btree 占用更少的内存。
- Zset 经常需要执行 ZRANGE 或 ZREVRANGE 的命令，即作为链表遍历跳表。通过此操作，跳表的缓存局部性至少与其他类型的平衡树一样好。
- 它们更易于实现、调试等。例如，由于跳表的简单性，我收到了一个补丁（已经在Redis master中），其中扩展了跳表，在 O(log(N) 中实现了 ZRANK。它只需要对代码进行少量修改。
我再详细补充点：
- 从内存占用上来比较，跳表比平衡树更灵活一些。平衡树每个节点包含 2 个指针（分别指向左右子树），而跳表每个节点包含的指针数目平均为 1/(1-p)，具体取决于参数 p 的大小。如果像 Redis里的实现一样，取 p=1/4，那么平均每个节点包含 1.33 个指针，比平衡树更有优势。
- 在做范围查找的时候，跳表比平衡树操作要简单。在平衡树上，我们找到指定范围的小值之后，还需要以中序遍历的顺序继续寻找其它不超过大值的节点。如果不对平衡树进行一定的改造，这里的中序遍历并不容易实现。而在跳表上进行范围查找就非常简单，只需要在找到小值之后，对第 1 层链表进行若干步的遍历就可以实现。
- 从算法实现难度上来比较，跳表比平衡树要简单得多。平衡树的插入和删除操作可能引发子树的调整，逻辑复杂，而跳表的插入和删除只需要修改相邻节点的指针，操作简单又快速。
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zset底层存储结构
zset底层的存储结构包括ziplist或skiplist，在同时满足以下两个条件的时候使用ziplist，其他时候使用skiplist，两个条件如下：
- 有序集合保存的元素数量小于128个
- 有序集合保存的所有元素的长度小于64字节
当ziplist作为zset的底层存储结构时候，每个集合元素使用两个紧挨在一起的压缩列表节点来保存，第一个节点保存元素的成员，第二个元素保存元素的分值。
当skiplist作为zset的底层存储结构的时候，使用skiplist按序保存元素及分值，使用dict来保存元素和分值的映射关系。
ziplist数据结构
ziplist作为zset的存储结构时，格式如下图，细节就不多说了，我估计大家都看得懂，紧挨着的是元素memeber和分值socore，整体数据是有序格式。
skiplist数据结构
skiplist作为zset的存储结构，整体存储结构如下图，核心点主要是包括一个dict对象和一个skiplist对象。dict保存key/value，key为元素，value为分值；skiplist保存的有序的元素列表，每个元素包括元素和分值。两种数据结构下的元素指向相同的位置。
Zset应用场景
Redis 的 Zset（有序集合）类型在许多场景中都非常有用，以下是一些常见的应用场景：
- 排行榜：Zset 非常适合用于实现各种排行榜。例如，你可以将用户的 ID 作为元素，用户的分数作为分数，然后使用 Zset 来存储和排序所有用户的分数。你可以很容易地获取到分数最高的用户，或者获取到任何用户的排名。
- 时间线：你可以使用 Zset 来实现时间线功能。例如，你可以将发布的消息作为元素，消息的发布时间作为分数，然后使用 Zset 来存储和排序所有的消息。你可以很容易地获取到最新的消息，或者获取到任何时间段内的消息。
- 带权重的队列：Zset 可以用于实现带权重的队列。例如，你可以将任务作为元素，任务的优先级作为分数，然后使用 Zset 来存储和排序所有的任务。你可以很容易地获取到优先级最高的任务，或者按优先级顺序执行任务。
- 延时队列：你可以将需要延时处理的任务作为元素，任务的执行时间作为分数，然后使用 Zset 来存储和排序所有的任务。你可以定期扫描 Zset，处理已经到达执行时间的任务。